Loi binomiale B(n ; p)
Exemple n°1 : jeu du pile ou face
Avec une pièce équilibrée, il y a une chance sur deux d'obtenir "pile"
(p = 1/2 = 50 % = 0,5).
On réalise 6 lancers (n = 6) :
La probabilité d'obtenir 2 fois "pile" est : P(X = 2) = 0,234375
La probabilité d'obtenir 6 fois "pile" est beaucoup plus faible : P(X =
6) = 0,015625 (une chance sur 64)
Exemple n°2 : poker Texas hold'em
Il y a une chance sur 17 de tirer une main avec une paire (2 cartes de
même valeur) : p = 1/17 = 0,0588235
Sur une table à 9 joueurs (n = 9) :
La probabilité que personne n'ait une paire est : P(X = 0) = 57,9 %
La probabilité qu'un seul joueur ait une paire est : P(X = 1) = 32,6 %
La probabilité que deux joueurs aient une paire est : P(X = 2) = 8,1 %
La probabilité que trois joueurs aient une paire est : P(X = 3) = 1,2 %
La probabilité que quatre joueurs aient une paire est : P(X = 4) = 0,11 %
La probabilité d'avoir au moins 4 paires est marginale : P(X >= 4) = 0,12 % (soit une chance sur 840)
Il y a en moyenne 0,529 paire par table.
Sur une table à 6 joueurs (n = 6) :
La probabilité que personne n'ait une paire est : P(X = 0) = 69,5 %
La probabilité qu'un seul joueur ait une paire est : P(X = 1) = 26,1 %
La probabilité que deux joueurs aient une paire est : P(X = 2) = 4,1 %
La probabilité que trois joueurs aient une paire est : P(X = 3) = 0,34 %
La probabilité que quatre joueurs aient une paire est : P(X = 4) = 0,016 %
La probabilité d'avoir au moins 3 paires est marginale : P(X >= 3) = 0,36 % (soit une chance sur 280)
Il y a en moyenne 0,35 paire par table.
En tête-à-tête (n = 2) :
La probabilité que personne n'ait de paire est : P(X = 0) = 88,6 %
La probabilité qu'un seul joueur ait une paire est : P(X = 1) = 11,1 % (une chance sur 9)
La probabilité que les deux joueurs aient une paire est : P(X = 2) = 0,35 % (une chance sur 289)
Lien utile :
http://pagesperso-orange.fr/jean-paul.davalan/proba/binome/index.html
(C) Fabrice Sincère